Let (X) be a smooth elliptic fibration over a smooth base (B). Under mild assumptions, the authors establish a Fourier-Mukai equivalence between the derived categories of two objects, each of which is an (mathcal{O}^{times}) gerbe over a genus one fibration which is a twisted form of (X). The roles of the gerbe and the twist are interchanged by the authors? duality. The authors state a general conjecture extending this to allow singular fibers, and they prove the conjecture when (X) is a surface. The duality extends to an action of the full modular group. This duality is related to the Strominger-Yau-Zaslow version of mirror symmetry, to twisted sheaves, and to non-commutative geometry.

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