In this paper the authors prove the following results (via a unified approach) for all sufficiently large $n$: (i) [[]$1$-factorization conjecture] Suppose that $n$ is even and $Dgeq 2lceil n/4rceil -1$. Then every $D$-regular graph $G$ on $n$ vertices has a decomposition into perfect matchings. Equivalently, $chi’(G)=D$. (ii) [[]Hamilton decomposition conjecture] Suppose that $D ge lfloor n/2 rfloor $. Then every $D$-regular graph $G$ on $n$ vertices has a decomposition into Hamilton cycles and at most one perfect matching. (iii) [[]Optimal packings of Hamilton cycles] Suppose that $G$ is a graph on $n$ vertices with minimum degree $deltage n/2$. Then $G$ contains at least ${rm reg}_{rm even}(n,delta)/2 ge (n-2)/8$ edge-disjoint Hamilton cycles. Here ${rm reg}_{rm even}(n,delta)$ denotes the degree of the largest even-regular spanning subgraph one can guarantee in a graph on $n$ vertices with minimum degree $delta$. (i) was first explicitly stated by Chetwynd and Hilton. (ii) and the special case $delta= lceil n/2 rceil$ of (iii) answer questions of Nash-Williams from 1970. All of the above bounds are best possible.

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