The author expounds the notion of supported blow-up and applies it to study the renowned Nirenberg/Kazdan-Warner problem on (S^n). When (n ge 5) and under some mild conditions, he shows that blow-up at a point with positive definite Hessian has to be a supported isolated blow-up, which, when combined with a uniform volume bound, is a removable singularity. A new asymmetric condition is introduced to exclude single simple blow-up. These enable the author to obtain a general existence theorem for (n ge 5) with rather natural condition.

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