Let (f) be a periodic measurable function and ((n_k)) an increasing sequence of positive integers. The authors study conditions under which the series (sum_{k=1}^infty c_k f(n_kx)) converges in mean and for almost every (x). There is a wide classical literature on this problem going back to the 30’s, but the results for general (f) are much less complete than in the trigonometric case (f(x)=sin x). As it turns out, the convergence properties of (sum_{k=1}^infty c_k f(n_kx)) in the general case are determined by a delicate interplay between the coefficient sequence ((c_k)), the analytic properties of (f) and the growth speed and number-theoretic properties of ((n_k)). In this paper the authors give a general study of this convergence problem, prove several new results and improve a number of old results in the field. They also study the case when the (n_k) are random and investigate the discrepancy the sequence ({n_kx}) mod 1.

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