This work is concerned with zeta functions of two-dimensional shifts of finite type. A two-dimensional zeta function (zeta^{0}(s)), which generalizes the Artin-Mazur zeta function, was given by Lind for (mathbb{Z}^{2})-action (phi). In this paper, the (n)th-order zeta function (zeta_{n}) of (phi) on (mathbb{Z}_{ntimes infty}), (ngeq 1), is studied first. The trace operator (mathbf{T}_{n}), which is the transition matrix for (x)-periodic patterns with period (n) and height (2), is rotationally symmetric. The rotational symmetry of (mathbf{T}_{n}) induces the reduced trace operator (tau_{n}) and (zeta_{n}=left(detleft(I-s^{n}tau_{n}right)right)^{-1}). The zeta function (zeta=prod_{n=1}^{infty} left(detleft(I-s^{n}tau_{n}right)right)^{-1}) in the (x)-direction is now a reciprocal of an infinite product of polynomials. The zeta function can be presented in the (y)-direction and in the coordinates of any unimodular transformation in (GL_{2}(mathbb{Z})). Therefore, there exists a family of zeta functions that are meromorphic extensions of the same analytic function (zeta^{0}(s)). The natural boundary of zeta functions is studied. The Taylor series for these zeta functions at the origin are equal with integer coefficients, yielding a family of identities, which are of interest in number theory. The method applies to thermodynamic zeta functions for the Ising model with finite range interactions.

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