Abstract. We consider functorial decompositions of (OmegaSigma X) in the case where (X) is a (p)-torsion suspension. By means of a geometric realization theorem, we show that the problem can be reduced to the one obtained by applying homology: that of finding natural coalgebra decompositions of tensor algebras. We solve the algebraic problem and give properties of the piece (A^{mathrm{min}}(V)) of the decomposition of (T(V)) which contains (V) itself, including verification of the Cohen conjecture that in characteristic (p) the primitives of (A^{mathrm{min}}(V)) are concentrated in degrees of the form (p^t). The results tie in with the representation theory of the symmetric group and in particular produce the maximum projective submodule of the important (S_n)-module (mathrm{Lie}(n)).

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