This unique book overturns our ideas about non-Euclidean geometry and explains the role of the "golden ratio" in Euclid’s Elements. It highlights a new view on Euclid’s Elements and the history of mathematics based on Proclus’ hypothesis. It describes a general theory of "recursive" hyperbolic functions based on the "golden, " "silver, " and other "metallic" proportions. The book contains an original solution of Hilbert’s Fourth Problem for hyperbolic and spherical geometries, and puts forward a problem searching for new hyperbolic and spherical worlds of nature based on this solution. For the first time, the book describes the "golden" qualitative theory of dynamical systems based on the mathematics of harmony. It is intended for a wide range of readers, who are interested in the history of mathematics, non-Euclidean geometry, Hilbert’s mathematical problems and dynamical systems. Key Features: ○ The book develops many unexpected ideas concerning the history of mathematics, in particular, a new view on Euclid’s Elements, based on Proclus’ hypothesis ○ A general theory of the "recursive" hyperbolic functions based on the "golden", "silver" and other "metallic" proportions underlies the present book ○ New approaches to the solution of Hilbert’s Fourth Problem follow from this theory ○ New and interesting results in the field of qualitative dynamical systems based on the mathematics of harmony are discussed ○ All these mathematical results have great value for a wide range of mathematicians

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