This book is the first to present a complete theory of filtrations on associative rings, combining techniques stemming from number theory related to valuations, with facts originating in the study of rings of differential operators on varieties. It deals with the homological algebra part of the theory via an innovative use of graded ring theory applied to the Rees ring of a filtration. This leads to a completely new approach to extensions of valuations, regularity conditions on noncommutative algebras, and geometric aspects of rin

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